Теоретические основы информатики · 1 балл

Логика и множества

Условия на числовой прямой

Найти количество чисел, удовлетворяющих логическому условию на отрезках и множествах.

Теория целое число

Что проверяет

Алгебра логики: высказывания, кванторы, логические операции и операции над множествами.

Основание: проект спецификации и кодификатора КИМ 2027. Открыть документы

Теория

Что нужно знать

Задание 15 проверяет алгебру логики на числовой прямой: отрезки, множества, делимость и поразрядные операции. В базе Kompege по этой теме 1 367 задач, 75 решений (69 программных и 6 текстовых) и 285 видеоразборов (193 YouTube, 53 VK, 39 Rutube). В 2027 году тема сохраняется без изменения номера.

Минимум для задания 15

логические операции и приоритеты
импликация и эквивалентность
законы де Моргана
кванторы всеобщности и существования
множества, подмножества и дополнение
числовая прямая: отрезки, интервалы, полуинтервалы
длина отрезка и количество целых точек
импликация как включение множеств
делимость, кратные, НОД и НОК
поразрядные операции &, |, ^ и маски
остатки, последняя цифра и пользовательские предикаты
перебор и проверка границ

Логические операции

Формула задания — это высказывание о числе x. Сначала расставьте операции по приоритету: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Скобки важнее приоритета.

¬A — «не A»; A ∧ B — «A и B»; A ∨ B — «A или B», причём «или» неисключающее.
A → B — «если A, то B»; A ≡ B — «A тогда и только тогда, когда B».
Импликация ложна только в одном случае: A истинно, B ложно.
Эквивалентность истинна, когда значения A и B совпадают.
Законы де Моргана помогают убрать отрицание перед скобкой.

A → B = ¬A ∨ BA ≡ B = (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

Импликация и её отрицание

Почти все задачи сводятся к вопросу, где импликация может стать ложной. Это происходит только на множестве A \ B: там A истинно, а B ложно. Поэтому отрицание импликации — это A ∧ ¬B.

A → B истинна на всём, кроме A \ B.
Если A — отрезок, а B — условие на x, ищите часть A, где B не выполняется.
Цепочка A → B → C раскрывается слева направо: ¬A ∨ ¬B ∨ C.
«Тождественно истинно» означает, что запрещённых точек нет.
«Тождественно ложно» означает, что истинных точек нет.

A → B = ¬A ∨ B¬(A → B) = A ∧ ¬BA → (B → C) = ¬A ∨ ¬B ∨ C

Кванторы и формулировки

В условии почти всегда написано «при любом x» или «для всех x, y». Это квантор всеобщности. Он требует, чтобы формула была истинна в каждой точке допустимой области, а не в одной удачной.

∀x P(x) — P верно для всех x из области.
∃x P(x) — существует хотя бы одно x, где P верно.
Отрицание ∀x P(x) — это ∃x ¬P(x), а не ∀x ¬P(x).
«Тождественно истинно» = ∀x P(x); «тождественно ложно» = ∀x ¬P(x).
«Не тождественно истинно» = ∃x ¬P(x): достаточно одного контрпримера.
Область x важна: натуральные, целые, неотрицательные и положительные числа дают разные ответы.

¬∀x P(x) = ∃x ¬P(x)¬∃x P(x) = ∀x ¬P(x)

Множества и числовая прямая

Условие x ∈ A — это принадлежность множеству. Отрезки, интервалы и полуинтервалы — частные случаи множеств на числовой прямой. Рисунок почти всегда быстрее формул.

A ∪ B — объединение; A ∩ B — пересечение; A \ B — разность; ¬A — дополнение.
[a; b] включает оба конца, (a; b) не включает, [a; b) включает только a.
На прямой удобно отмечать границы и штриховать запрещённые и обязательные участки.
Для дискретных множеств (целые числа, делители) рисуйте не прямую, а список элементов.
Пустое множество допустимо, если в условии нет запрета.

x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ Bx ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ Bx ∈ A \ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B

Импликация как включение

Для множеств x ∈ A → x ∈ B означает A ⊆ B. Это главный перевод условий про отрезки и множества. Если A не должно выходить за B, то A — подмножество B; если A обязано покрыть разность, то B \ C ⊆ A.

A ⊆ B: каждая точка A лежит в B.
A → B ложно ровно на A \ B, поэтому нужно сделать A \ B пустым.
Если A неизвестно, а B и C даны, условие часто превращается в B \ C ⊆ A.
Для «наибольшей длины A» ищите максимальное подмножество, не нарушающее запрет.
Для «наименьшей длины A» ищите минимальное покрытие обязательной части.

(x ∈ A → x ∈ B) ⇔ A ⊆ BA → B нарушается ⇔ A \ B ≠ ∅

Отрезки: длина и целые точки

Длина отрезка [a; b] равна b − a, а количество целых точек — b − a + 1. Для полуинтервала и интервала формулы отличаются на единицу, поэтому проверяйте включение концов.

Длина [a; b] = b − a; длина (a; b) = b − a.
Целых точек в [a; b]: b − a + 1, если a и b целые.
Целых точек в [a; b): b − a; в (a; b]: b − a; в (a; b): b − a − 1.
Если концы нецелые, считайте целые точки отдельно или округляйте аккуратно.
Минимальная длина A, покрывающего промежуток, равна его длине; максимальная — длине разрешённой области.
Не путайте длину и количество целых точек: ответ может отличаться на 1.

|[a; b]| = b − aN([a; b]) = b − a + 1N([a; b)) = b − a

Делимость и кратные

ДЕЛ(x, m) означает, что x кратно m. Множество таких x — {0, m, 2m, …}. Пересечение условий делимости — это кратность НОК, а не произведению.

ДЕЛ(x, m) ⇔ x mod m = 0.
ДЕЛ(x, a) ∧ ДЕЛ(x, b) ⇔ ДЕЛ(x, НОК(a, b)).
ДЕЛ(x, a) ∨ ДЕЛ(x, b) — объединение двух множеств кратных; НОК здесь не заменяет дизъюнкцию.
A → B для делимости: все кратные A должны попасть в B.
Наибольшее A обычно делит некоторое НОК; наименьшее A добавляет недостающие множители.
Для x = 0 делимость выполнена при любом m; учитывайте область определения.

ДЕЛ(x, m) ⇔ ∃k ∈ ℤ: x = kmДЕЛ(x, a) ∧ ДЕЛ(x, b) ⇔ ДЕЛ(x, НОК(a, b))

НОД и НОК

НОД — наибольший общий делитель, НОК — наименьшее общее кратное. Через разложение на простые множители НОК берёт максимальные степени, а НОД — минимальные.

НОК(a, b) = a·b / НОД(a, b).
Для взаимно простых a и b НОК(a, b) = a·b.
В делимости чаще нужен НОК: он описывает общие кратные.
НОД полезен, когда нужно наибольшее A, делящее несколько чисел.
Проверяйте, что A натуральное и не превосходит ограничение из условия.

НОК(a, b) = a·b / НОД(a, b)a = 2^α·3^β·5^γ…, b = 2^δ·3^ε·5^ζ…НОД берёт min(α, δ), НОК — max(α, δ)

Поразрядные операции

В задачах с &, |, ^ и ↑ числа удобно переводить в двоичную запись. Операции выполняются независимо в каждом бите, поэтому маску A можно собирать по битам.

x & A = 0 — у x и A нет общих единичных битов.
x & A ≠ 0 — есть хотя бы один общий единичный бит.
x | A — объединение единичных битов; x ^ A — биты, где значения различаются.
x ^ A = 0 ⇔ x = A; x ^ A ≠ 0 ⇔ x ≠ A.
x & m = m означает, что все единичные биты m есть в x.
Поразрядная импликация n ↑ m: в каждом бите n → m, то есть ¬n ∨ m.
Для поиска A перебирайте биты или небольшие диапазоны; маска быстро стабилизируется.

x & A = 0 ⇔ нет общих единицx ^ A = 0 ⇔ x = An ↑ m = ¬n ∨ m (по битам)

Условия с двумя переменными

Когда в формуле есть x и y, истинность проверяется для всех пар. Часто формула ложна только на одной линии или в одной точке; тогда достаточно исследовать равенство, а не перебирать весь квадрат.

Найдите случаи, когда первое слагаемое ложно: обычно это уравнение.
На линии или в точке подставьте выражение и найдите максимум/минимум.
Для линейных выражений экстремум достигается в конце отрезка или в целой точке.
Для произведения x·y и квадратов проверяйте границы и нули.
Если область x, y не ограничена, ищите асимптотику и критические точки.
Перебор по x и y допустим, если диапазон небольшой; иначе сокращайте до критических пар.

∀x ∀y P(x, y) — проверить все парыP ложно только при равенстве f(x, y) = C

Остатки и пользовательские предикаты

mod(x, m) — остаток от деления x на m; он периодичен с периодом m. Пользовательские функции (последняя цифра, количество единиц, сумма цифр) тоже часто периодичны или сводятся к конечному перебору.

mod(x, m) = r ⇔ x = km + r.
Остаток повторяется каждые m чисел: проверяйте один период.
Последняя цифра — это x mod 10; первая цифра требует оценки разрядов.
Чётность количества единиц в двоичной записи — bin(x).count('1') % 2.
Для цифры x перебирайте 0…9; для трёхзначного числа — 100…999.
Сначала проверьте, не пусто ли множество решений: тогда подходит и A = 0.

mod(x, m) = r ⇔ x ≡ r (mod m)last_digit(x) = x mod 10

Перебор и проверка

На экзамене перебор на Python — законный способ, если правильно выбрать границы. Проверяйте не только ответ, но и область определения, целочисленность и минимальность/максимальность.

Для A перебирайте диапазон с запасом: от 0 или 1 до 1000–10000, если нет ограничения.
Для x перебирайте шире, чем границы отрезков, но не бесконечно.
Используйте all(...) для «для всех» и any(...) для «существует».
Проверяйте обе стороны: найденное A не должно нарушать условие на соседних значениях.
Для длины отрезка перебирайте концы, а не все точки, если нужна точность.
Сравните ответ с оценкой: длина не больше длины объемлющего отрезка, A не больше ограничения.
Перед записью ответа перечитайте, что именно просят: длину, количество, сумму или произведение.

all(P(x) for x in range(...))any(P(x) for x in range(...))

Разбор примера

Учебный пример: кратчайший отрезок A

На числовой прямой даны D = [7; 68] и C = [29; 100]. Найдём наименьшую длину A, при которой формула (x ∈ D) → ((¬(x ∈ C) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ D)) истинна для всех x.

Как читать условие на прямой
Запись	Смысл	Что делать
[a; b]	включает a и b	проверить оба конца
[a; b)	включает a, не включает b	не потерять правую границу
x ∈ A → x ∈ B	A ⊆ B	убрать A \ B
ДЕЛ(x, m)	x кратно m	перейти к НОК
x & A = 0	нет общих единичных битов	собирать маску по битам

Раскроем внешнюю импликацию: формула ложна, только если x ∈ D, а внутренняя импликация ложна.
Внутренняя импликация (¬(x ∈ C) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ D) ложна, когда x ∈ D, x ∉ C и x ∉ A.
Значит, все точки D \ C = [7; 29) обязаны лежать в A.
Минимальный отрезок A, покрывающий [7; 29), — это [7; 29] или [7; 29); его длина равна 29 − 7 = 22.
Проверяем: при x ∈ [7; 29) условие x ∈ A выполнено, поэтому внутренняя импликация не может стать ложной.

Ответ22.

Способы решения

Выберите метод под формулировку

Методы собраны по решениям задания 15 из базы Kompege. Начните с того, что именно нужно найти в условии.

когда A — отрезок и есть импликации

Отрезки: найти обязательную разность

Когда использовать: В условии даны отрезки и формула с →, а нужно найти наименьшую или наибольшую длину A.

Раскройте импликации по правилу A → B = ¬A ∨ B.
Найдите единственный случай, когда формула ложна: antecedent true, consequent false.
Переведите этот случай в требование «такие x обязаны лежать в A».
Вычислите длину обязательного промежутка или разрешённой области.
Проверьте концы: включение границы может изменить длину на 1.

Пример

D = [7; 68], C = [29; 100], формула (x ∈ D) → ((¬(x ∈ C) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ D)).

# Обязательная часть: D \ C = [7; 29)
print(29 - 7)  # 22

Ответ22.

Задача № 12469 (база Kompege).

когда формула сложная

Отрезки: перебор концов

Когда использовать: Формула содержит несколько отрезков, эквивалентности или отрицания, и вручную легко запутаться.

Обозначьте A = [a1; a2].
Соберите все границы из условия и добавьте по 0,5–1 в обе стороны.
Переберите a1 и a2 по этим точкам.
Проверьте формулу на всех контрольных x: границы, середины, соседние точки.
Выберите минимальную или максимальную подходящую длину.

Пример

P = [15; 40], Q = [21; 63], формула (x ∈ P) → (((x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ P)).

best = None
for a1 in range(0, 70):
    for a2 in range(a1, 70):
        ok = all(
            (15 <= x <= 40) <= (
                ((21 <= x <= 63) and not (a1 <= x <= a2))
                <= (not (15 <= x <= 40))
            )
            for x in range(0, 70)
        )
        if ok:
            length = a2 - a1
            best = length if best is None else min(best, length)

print(best)  # 19

Ответ19.

Задача № 17528 (база Kompege).

когда A, P, Q — множества чисел

Множества: включения и запреты

Когда использовать: Нужно найти наибольшее количество элементов A или само множество A.

Переведите каждую импликацию в включение: x ∈ A → x ∈ P означает A ⊆ P.
Переведите отрицание в запрет: x ∈ Q → x ∉ A означает A ∩ Q = ∅.
Соберите разрешённое множество: элементы, которые могут входить в A.
Для максимума возьмите всё разрешённое множество; для минимума — только обязательные элементы.
Проверьте, что все элементы натуральные и удовлетворяют ограничениям.

Пример

P = {2, 4, 6, …, 30}, Q = {1, 4, 7, …, 31}, формула ((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∧ ((x ∈ Q) → (x ∉ A)).

P = set(range(2, 31, 2))
Q = {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31}
allowed = P - Q
print(len(allowed), sorted(allowed))
# 10 [2, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 26, 30]

Ответ10 элементов.

Задача № 1072 (база Kompege).

когда ищут сумму или произведение

Множества: обязательные элементы

Когда использовать: Нужно не количество, а сумма или произведение элементов A; важно найти минимальный обязательный набор.

Раскройте импликацию: A → (B ∨ C) = ¬A ∨ B ∨ C.
Найдите x, при которых B ложно, а A истинно: только они обязаны попасть в C.
Для минимума суммы или произведения добавляйте только обязательные элементы.
Проверьте, нет ли ограничения «множество непусто» или «элементы натуральные».
Вычислите сумму или произведение и проверьте арифметику.

Пример

S1 = {2, 4, 8, 12, 15}, S2 = {3, 6, 8, 15}, формула (x ∈ S1) → (¬(x ∈ S2) ∨ (x ∈ A)).

S1 = {2, 4, 8, 12, 15}
S2 = {3, 6, 8, 15}
need = S1 & S2
prod = 1
for x in need:
    prod *= x

print(sorted(need), prod)  # [8, 15] 120

Ответ120.

Задача № 744 (база Kompege).

когда ДЕЛ(x, a) и ДЕЛ(x, b)

Делимость: НОК и общие кратные

Когда использовать: В формуле несколько условий делимости, и нужно найти наибольшее или наименьшее A.

Замените ДЕЛ(x, m) на «x кратно m».
Соедините условия через НОК: ДЕЛ(x, a) ∧ ДЕЛ(x, b) = ДЕЛ(x, НОК(a, b)).
Раскройте импликацию и найдите, какие x обязаны быть кратны A.
Для наибольшего A возьмите НОК или его делитель; для наименьшего добавьте недостающие простые множители.
Проверьте A на нескольких кратных и на числе 0, если оно входит в область.

Пример

ДЕЛ(x, 120) → (¬ДЕЛ(x, A) → ¬ДЕЛ(x, 512)). Нужно наибольшее A.

from math import gcd
a, b = 120, 512
print(a * b // gcd(a, b))  # 7680

Ответ7680.

Задача № 27324 (база Kompege).

когда A входит в ДЕЛ(x, A)

Делимость: добавить недостающие множители

Когда использовать: Нужно наименьшее A, при котором все общие кратные попадают в ещё одно условие.

Разложите заданные числа на простые множители.
Запишите, какие множители уже обеспечивает НОК известных чисел.
Сравните с требуемым делителем: каких степеней не хватает, те и должны быть в A.
Возьмите минимальное A с недостающими множителями.
Проверьте НОК(A, известное число) на делимость.

Пример

(ДЕЛ(x, A) ∧ ДЕЛ(x, 845)) → ДЕЛ(x, 325). Нужно наименьшее A.

# 845 = 5 * 13**2, 325 = 5**2 * 13
# не хватает одной пятёрки
print(25)  # A = 25

Ответ25.

Задача № 21561 (база Kompege).

когда есть x & A

Поразрядная конъюнкция &

Когда использовать: В условии встречаются x & m = 0, x & m ≠ 0 или x & m = m.

Переведите числа в двоичную запись и выровняйте по длине.
x & A = 0 означает: ни один единичный бит A не должен стоять в x.
x & A ≠ 0 означает: хотя бы один единичный бит A должен быть в x.
Соберите запрещённые и разрешённые биты из условий.
Для проверки переберите A и x в небольших диапазонах; маска быстро находится.

Пример

(x & 30 ≠ 4) ∨ ((x & 35 = 1) → (x & A = 0)). Нужно наибольшее A.

def f(x, A):
    return (x & 30 != 4) or ((x & 35 == 1) <= (x & A == 0))

ans = max(A for A in range(1, 1000)
          if all(f(x, A) for x in range(1, 1000)))
print(ans)  # 58

Ответ58.

Задача № 407 (база Kompege).

когда есть x ⊕ A

XOR и битовые маски

Когда использовать: В условии есть исключающее ИЛИ, и нужно найти A.

Запомните: x ⊕ A = 0 тогда и только тогда, когда x = A.
x ⊕ m = 0 сразу задаёт x = m; подставьте это значение в остальные части.
Если x ⊕ A ≠ 0, то x ≠ A; используйте это как запрет.
Для выражений с & и ⊕ перебирайте биты или небольшие A.
Проверьте найденное A на всех x из условия.

Пример

((x ⊕ 52 ≠ 0) ∧ (x ⊕ 48 = 0)) → ¬(x ⊕ A ≠ 0). Нужно наименьшее A.

def f(x, A):
    return ((x ^ 52 != 0) and (x ^ 48 == 0)) <= ((x ^ A) == 0)

print(min(A for A in range(100)
          if all(f(x, A) for x in range(100))))  # 48

Ответ48.

Задача № 31189 (база Kompege).

когда x и y в одном условии

Две переменные: равенство и критические пары

Когда использовать: Формула должна быть истинна для всех x и y, но ложна только при одном равенстве.

Найдите, когда первое слагаемое ложно: обычно это уравнение.
Решите уравнение в целых числах или выразите y через x.
Подставьте решения во второе слагаемое.
Найдите максимум или минимум по всем решениям.
Для «A > …» прибавьте 1; для «A < …» вычтите 1.

Пример

(6x + 4y ≠ 34) ∨ ((A > 5x + 3y) ∧ (A > 4y + 15x − 35)). Нужно наименьшее A.

pairs = [(x, y) for x in range(1, 20) for y in range(1, 20)
         if 6*x + 4*y == 34]
need = max(max(5*x + 3*y, 4*y + 15*x - 35) for x, y in pairs)
print(pairs, need + 1)  # [(1, 7), (3, 4), (5, 1)] 45

Ответ45.

Задача № 698 (база Kompege).

когда есть mod или последняя цифра

Остатки и периодичность

Когда использовать: Условие зависит от остатка, последней цифры или другого периодичного признака.

Запишите x = km + r для mod(x, m) = r.
Проверьте один период r = 0…m−1.
Для последней цифры используйте m = 10; для чётности — m = 2.
Для нестандартных предикатов выпишите таблицу значений на периоде.
Проверьте, не пусто ли множество решений: тогда минимальное A может быть 0.

Пример

B = [5; 13], O = [12; 105], формула (x ≥ 110) ∨ (((x ∉ B) ∧ (x ∉ O)) → (mod(x, A) ≠ 0)). Нужно наименьшее A.

def f(x, A):
    B = 5 <= x <= 13
    O = 12 <= x <= 105
    return x >= 110 or (((not B) and (not O)) <= (x % A != 0))

print(min(A for A in range(1, 100)
          if all(f(x, A) for x in range(1, 1000))))  # 5

Ответ5.

Задача № 24625 (база Kompege).

когда не уверены в упрощении

Перебор и проверка ответа

Когда использовать: Формула сложная, ручное упрощение рискованно, а диапазоны небольшие.

Для A берите диапазон 0…1000 или 1…10000; если A ограничено, используйте границу.
Для x перебирайте на 10–20 значений шире всех границ.
Используйте all для «для всех» и any для «существует».
Проверьте ответ на соседних A: минимальное или максимальное должно быть крайним подходящим.
Для длин перебирайте концы, а не все точки.
Сверьте ответ с ограничениями: длина, количество, сумма, произведение.

Шпаргалка: формулировка → метод

В условии	Что делать
«x ∈ A → x ∈ B»	A ⊆ B; убрать A \ B
«наименьшая длина A»	покрыть обязательную разность отрезков
«наибольшая длина A»	A не должно выходить за разрешённую область
«A, P, Q — множества»	включения и запреты, диаграмма
«количество элементов A»	A ⊆ разрешённого множества
«произведение/сумма элементов A»	только обязательные элементы
«ДЕЛ(x, A)»	x кратно A
«ДЕЛ(x, a) ∧ ДЕЛ(x, b)»	x кратно НОК(a, b)
«наибольшее A» в делимости	A делит НОК или заданное число
«наименьшее A» в делимости	добавить недостающие простые множители
«x & A = 0»	нет общих единичных битов
«x & A ≠ 0»	есть хотя бы один общий бит
«x ⊕ A = 0»	x = A
«x ⊕ A ≠ 0»	x ≠ A
«x \| A > …»	анализировать биты по маске
«для всех x, y»	проверить все пары, особенно равенства
«тождественно ложно»	формула нигде не истинна
«mod(x, m) = r»	периодичность с периодом m
«x оканчивается на d»	x mod 10 = d
«x — цифра»	конечный перебор 0…9
«проверка»	подставить границы и соседние точки

Видеоразборы по теме

Видеоразборы открытого курса КомпЕГЭ; для заданий 8–12 и 27 — дополнительные разборы демоверсии 2027.

По базе Kompege: тема задания 15 — 1 367 задач, 75 решений (69 программных и 6 текстовых) и 285 видеоразборов (193 YouTube, 53 VK, 39 Rutube). Для методов отобраны задачи № 12469, 17528, 1072, 744, 27324, 21561, 407, 31189, 698 и 24625; дополнительные примеры и видеоразборы — задачи № 14, 498, 5923, 756, 11234, 13895, 24988, 25279 и 31512; примеры переработаны в учебные.

Разборы из видео

Задачи, которые разбирают в курсе

Условия и код показаны в кадре в конце соответствующего фрагмента. Источники задач — КомпЕГЭ, сайт К. Полякова, ФИПИ и другие.

№ 12

разбор из видео · 2024

Наибольшая длина отрезка A

На числовой прямой даны отрезки P = [43; 49] и Q = [44; 53]. Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, при которой формула (x ∈ A) → (x ∈ P) ∨ (x ∈ Q) тождественно истинна.

Ответ10

Смотреть с 1:10:55

Полный архив

Все фрагменты видеоразборов

По одному пункту на каждую главу: условие или код из кадра, ответ и ссылка. Источники задач — КомпЕГЭ, сайт К. Полякова, ФИПИ и другие; номер берётся из кадра. Текст с экрана распознан автоматически, служебные строки и артефакты удалены; если текст нечитаем, остаются название, таймкод и ссылка.

Показать все фрагменты (50)

2024 · 00:00 Приветствие

(№ 2252) Обозначим через ДЕЛ(®, m) утверждение натуральное число п делится без остатка на "натуральное число ш. Для какого наименьшего натурального числа А формула (ПДЕЛ(х, 19) У -ДЕЛ(х, 15)) + -ДЕЛ(х, А) тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)? (Xe 5106) Обозначим через ДЕЛ(®, m) утверждение натуральное число п "делится без остатка на натуральное число ш. "натурального числа А формула (ДЕЛ(х, 12) + -ДЕЛ(х, 90)) v (х+2А> 512) тождественно истинна (то есть принимает значение при любом натуральном значении переменной х)? Кабанов) Обозначим через ДЕЛ(®, m) утверждение натуральное число п делится без остатка на натуральное число ш; п пусть на числовой прямой дан отрезок В = [70; Для какого наибольшего натурального числа A "формула ДЕЛ(х, А) V ((x € В) > -ДЕЛ(Х, 18)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом

Смотреть с 00:00

2024 · 03:20 Основные законы алгебры логики

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 03:20

2024 · 25:30 Тренируемся преобразовывать выражения

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 25:30

2024 · 34:50 Критерий истинности (чтение импликации)

принимает значение 1) при любом значении переменной x. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества А. Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение истинно (т. Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества А. Элементами мномества А являются натуральные числа. Определите наименьшее возможное количество элементов множества А. Элементами множеств A, Ри Q являются натуральные числа, причём Р =

Смотреть с 34:50

2024 · 40:45 Множества 1

принимает значение 1) при любом значении переменной x. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества А. Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение (x € (2,4,8, 12,15) — ОКЕ В, 6,8, 15 )УСЕА) истинно (т. Определите наименьшее Элементами множества A являются натуральные числа. Известно, что выражение истинно (т. Определите наименьшее возможное количество элементов множества А. Известно, что выражение (ХЕА) — КЕРУл(ЕО) — Е АУ) истинно (т.е.

Смотреть с 40:45

2024 · 49:30 Множества 2

принимает значение 1) при любом значении переменной x. возможное значение суммы элементов множества А. Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества А. Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение "истинно (т.е. Определите наименьшее возможное количество элементов множества А. Элементами множеств A, Ри Q являются натуральные числа, причём Р = (2,4, 6,8, 10, 12, 14, 16, Известно, что выражение истинно (т.

Смотреть с 49:30

2024 · 52:40 Множества 3

Элементами множеств являются натуральные числа, прич Известно, что выражение "истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной x. Определите наибольшее возможное количество элементов множества А. Хламов) Пусть Р- множество всех 8-битовых цепочек, начинающихся с 11, © множество "всех 8-битовых цепочек, оканчивающихся на 0, а А — некоторое множество произвольных B- битовых цепочек. Сколько элементов содержит минимальное множество A, при котором для "любой 8-битовой цепочки x истинно выражение

X=H2,3,48,9,16
Anm= £123,%,8,5163 (©)

Смотреть с 52:40

2024 · 56:25 Множества 4

Элементами мноместь A, Ри Q являются натуральные числа, причём P= (2, 4,6, 8,10, 12, 14, 16, Известно, что выражение возможное количество элементов множества А. Хламов) Пусть Р— множество всех 8-битовых цепочек, начинающихся с 11, ‚9- "множество всех 8-битовых цепочек, оканчивающихся на 0, А — некоторое множество произвольных 8- битовых цепочек. Сколько элементов содержит минимальное множество А, при котором для "любой 8-битовой цепочки х истинно выражение

Смотреть с 56:25

2024 · 1:03:20 Множества 5

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 1:03:20

2024 · 1:10:55 Отрезки 1

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 1:10:55

2024 · 1:15:25 Отрезки 2

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 1:15:25

2024 · 1:20:55 Отрезки 3

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 1:20:55

2024 · 1:29:55 Отрезки 4

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 1:29:55

2024 · 1:37:30 Про программное решение

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 1:37:30

2024 · 1:41:20 Делимость руками

Обозначим через ДЕЛ(п, m) утверждение натуральное число п делится без остатка Ha натуральное число т. Для какого наибольшего натурального числа А формула ) =Av була = 76 13) = (haa) 4 ДЕЛЬ. 6) — дель) = TA (6 — 79 тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)? 9 ‚то Oh porter 1 1d, 34 Aa (1149, 6, 5,18 7d a a В Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел т и п. Так, например, 1485 = 1110580101 = 0100, = 4 "Ans какого наибольшего неотрицательного целого числа А формула xBA #0 — (4817 = 0 /\ x85 = 0)- x83 40) "тождественно истинна (те. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной к

Смотреть с 1:41:20

2024 · 1:45:40 Поразрядная конъюнкция руками

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 1:45:40

2024 · 1:53:05 Окончание и напутствия

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 1:53:05

2026 · 00:00 Приветствие

Смотреть с 00:00

2026 · 03:35 Делимость I

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 03:35

2026 · 10:50 Делимость II 2252

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 10:50

2026 · 14:35 Делимость III 2252

for a in range(1,10000):
if all(f(x)==1 for x in range(1,1000000)):
print(a)
def f(x):
return ((x%12==0) <= (x%90!=0)) or (x+2*a>=512)
for a in range(1,1000):
for a in range(10000,1,-1):

Смотреть с 14:35

2026 · 19:05 Делимость IV

(№ 3827) Обозначим через ДЕЛ(а, m) утверждение натуральное число п: делится без остатка на натуральное число ш. Сколько сушествует ДЕЛА, 35) A (ДЕЛ(130, x) > (СДЕЛ(А, x) > -ДЕЛ(110, x))) тождественно истинна (то есть принимает знач

return (a%35==0) and ((730%x==0)<=((a%x!=0) <= (110%x!=0)))
print(a)

Смотреть с 19:05

2026 · 22:30 Конъюнкция I

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 22:30

2026 · 25:05 Конъюнкция II

(№ 3827) Обозначим через ДЕЛ(а, m) утверждение натуральное число в делится без остатка на натуральное число ш.

return (a%35==0) and ((730%x==0)<=((a%x!=0) <= (110%x!=0)))
print(a)

Смотреть с 25:05

2026 · 27:15 Неравенства I

def F(x):
for a in range(1,1000):
if all(f(x)221 for x in range(1,10**6)):

Смотреть с 27:15

2026 · 31:20 Неравенства II 1055

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 31:20

2026 · 36:50 Неравенства III 14353

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 36:50

2026 · 39:40 ПОЗ 4383

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 39:40

2026 · 43:50 ТРЕУГ

def tr(nym,k):
def f(x):
for a in range(1000,1,-1):
if all(f(x)==1 for x in range(1,10**6)):
print(a)

Смотреть с 43:50

2026 · 49:40 Отрезки I

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 49:40

2026 · 1:11:45 Отрезки II 377

ox = [dx for x in (2,15,20,25) for dx in (x,x+0.00001,x-0.00001)]
for a2 in ox:
return (A <= P) or Q
for al in ox:
if a2>=a1 and all(f(x)==1 for x in ox):

Смотреть с 1:11:45

2026 · 1:14:25 Отрезки III

def fO0:
P= 135¢=xe=218
Q = 176c2x<=308
ox = [dx for x in (135,218,174,308,246,382) for dx in (x,x+0-0001,x-0.0001)]
for a2 in ox:
for a2 an ox:
print(min(n))

Смотреть с 1:14:25

2026 · 1:19:00 Отрезки IV

— (№ 380) Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P= Известно, что. принимает значение 1 при любом значении переменной x. Определите наименьшее возможное количество элементов в множестве А. (№ 3434) Элементами множеств А, Р и О являются натуральные числа, причём: ((ХЕА) > (KEP) У (ХЕ О) > —(ХЕА)) Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве А.

Смотреть с 1:19:00

2026 · 1:23:00 Множества I 380

a = set()
def F(x):
P={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} 1 Q={5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}.

Смотреть с 1:23:00

2026 · 1:33:20 Множества II 3434

Определите наименьшее возможное количество элементов в множестве А. (№ 3434) Элементами множеств A, P и О являются натуральные числа, причём (ХЕА) > (ХЕР)У (ЕО) > —КЕА)) Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве А.

for x in range(1,1000):
if (x):
print(a)
Q = x in {5,10,15,20,25, 30,35, 40,45, 50}
if £00;
print(flen(a),a)

Смотреть с 1:33:20

2026 · 1:40:20 Делимость V

Сколько элементов содержит минимальное множество А, при котором для любой 8-битовой цепочки х Элементами множества A, Bu C являются целые числа. принимает значение 1) прилюбом значении переменной г. Определите наибольшую возможную "сумму элементов множества А.

Смотреть с 1:40:20

2026 · 1:47:45 Множества III

Сколько элементов содержит минимальное множество А, при котором для любой 8-битовой цепочки х Элементами множества A, Bu С являются целые числа. принимает значение 1) при любом значении переменной г. Определите наибольшую возможную "сумму элементов множества А.

from itertools import *
return (not A) <=

Смотреть с 1:47:45

2026 · 1:53:55 Множества IV

Сколько элементов содержит минимальное множество А, при котором для любой 8-битовой цепочки х истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной г. Определите наибольшую возможную омемузпементох множество А 5 (21 15, 16, 23, SO DE 292

a = set(range(-1000,1000))
def F(x):
B= x in {-42,-10,-8,2,16}
C= x in {-10,-4,2,15,23}
for x in range(-1000, 1000):
print(a)
from itertools import *
def f(x):
return (not A) <= (P or (not Q))
print(len(a))

Смотреть с 1:53:55

2026 · 1:59:25 Окончание и напутствие 2252

return ((x%19!=0) or (x%15!=0)) <= POC Mat eye
for a in range(1,10000):
print(a)
def f(x):
return ((x%12==0) <= (x%90!=0)) or (x+2*a>=512)
for a in range(1,1000):

Смотреть с 1:59:25

2026 · 00:00 Приветствие

Смотреть с 00:00

2026 · 05:00 Анализ неравенств I

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 05:00

2026 · 25:00 Анализ неравенств II 3077

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 25:00

2026 · 39:05 Анализ неравенств III

if allfGay
for i in range(2):
a = 2500000
for x in range(@,10_000,10):
for y in range(0,10_000,10):

Смотреть с 39:05

2026 · 51:30 Анализ неравенств IV

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 51:30

2026 · 1:14:40 Рекомендации по рисованию Черепахой

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 1:14:40

2026 · 1:17:00 Анализ равенств I

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 1:17:00

2026 · 1:31:15 Анализ равенств II

from turtle import *
for i in range(2):
return 24x+3*y!=860_000 or x<y or acx
print(a)
for x in range(1,1_000_000,1000):

Смотреть с 1:31:15

2026 · 1:48:10 Анализ равенств III

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 1:48:10

2026 · 2:04:55 Тождественная ложность 3478

from turtle import *
for x in range(1,10_000,10):
if ==:

Смотреть с 2:04:55

2026 · 2:14:15 Окончание и напутствие 3478

def f(x,y):
print(a)
for i in range(2):
a = 300_000
for x in range(1,10_000,10):
for y in range(1,10_000,10):

Смотреть с 2:14:15

Типичные ошибки

неверная импликация
границы отрезков
двойной счёт
путаница «делится» и «не делится»

Ключевые формулы

A → B = ¬A ∨ B
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B

Практика

ФИПИОткрытый банк заданий Навигатор · 2026Теория ДемоверсияКИМ 2027 МетодикаРазбор ошибок 2026

Навигатор и методические рекомендации опубликованы в 2026 году: номера заданий в них могут отличаться от нумерации 2027 года. Ориентируйтесь на тему.