Теоретические основы информатики · 1 балл

Комбинаторика и коды

Кодовые слова и перебор

Посчитать количество слов, кодов или комбинаций с ограничениями, найти номер слова в алфавитном списке или восстановить слово по номеру.

Теория целое число

Что проверяет

Умение подсчитывать количество слов (кодов) с заданными ограничениями, работать с алфавитным порядком и перебором вариантов.

Основание: проект спецификации и кодификатора КИМ 2027. Открыть документы

Теория

Что нужно знать

Задание 8 — это комбинаторика на словах и кодах. В демоверсии 2027 нужно было найти номер слова в алфавитном списке, а в банке задач встречаются подсчёты слов с ограничениями, перестановки букв, запреты на соседние символы и обратные задачи «номер → слово». Почти всё решается правилом умножения и переводом слова в систему счисления с основанием, равным размеру алфавита.

Минимум для задания 8

что является алфавитом: буквы, цифры или набор символов
длина слова и число позиций
можно ли повторять символы
все ли буквы слова различны
есть ли запрет на первую позицию или ведущий ноль
что значит «ровно», «не более», «не менее», «хотя бы один»
есть ли ограничения на соседние буквы или чередование
нужно посчитать слова или найти номер слова
в каком порядке записаны слова: прямой или обратный алфавитный
с какой цифры начинается нумерация: 0 или 1
сколько букв повторяется в исходном слове
можно ли проверить ответ перебором

Как устроено задание 8

В задании 8 нужно посчитать количество слов, кодов, чисел или комбинаций, удовлетворяющих условиям, либо определить место слова в упорядоченном списке. Формулировки разные, но структура одна: есть алфавит, длина слова и набор ограничений. В 2027 году задание сохраняет номер и проверяет комбинаторику и алфавитный подход.

Алфавит — набор допустимых символов; его мощность обозначим n.
Длина слова L — число позиций.
Слова могут содержать повторяющиеся буквы или быть перестановками.
Ограничения бывают на позиции, количество букв, соседние символы и порядок.
В алфавитном списке слова идут как числа в системе счисления с основанием n.
Ответ — целое число; если просят слово, записывают его буквами.

Правило умножения

Если позиции заполняются независимо, количества вариантов перемножаются. Для слова длины L из алфавита мощности n с повторениями получается n^L. Если первая позиция не может быть нулём, для неё отдельно берут n−1 вариант.

n^L — все слова длины L, если каждый символ можно повторять.
Если запрещена одна буква, остаётся (n−1)^L вариантов.
Если первая буква выбирается из k допустимых, остальные — из n, то k · n^(L−1).
Если ровно k позиций заняты особой буквой, сначала выберите эти позиции: C(L,k).
Для нескольких независимых ограничений множители перемножаются.
Для чисел не забудьте, что старшая цифра не может быть нулём.

n^LC(L,k) · (n−1)^(L−k)k · n^(L−1)

Перестановки

Если все L букв различны и используются по одному разу, число перестановок равно L!. Если среди букв есть одинаковые, одинаковые перестановки не считаются разными, поэтому делим на факториалы количеств повторений.

P = L! — все буквы различны.
P = L! / (n1! · n2! · … · nk!) — буквы повторяются.
A(n,k) = n! / (n−k)! — выбрать k различных букв и расставить их по позициям.
C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!) — выбрать k букв без учёта порядка.
Фиксированная буква уменьшает число свободных позиций.
Запрещённый блок из нескольких букв удобно считать одним объектом.

P = L!P = L! / (n1! · … · nk!)A(n,k) = n! / (n−k)!C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!)

Ограничения и дополнение

Фразы «хотя бы один», «не более», «ровно» меняют способ подсчёта. Часто проще посчитать все варианты и вычесть запрещённые. Для «хотя бы один» удобно использовать дополнение: всего минус варианты, где нужного символа нет совсем.

«Хотя бы один раз»: всего − варианты без этого символа.
«Ровно k раз»: выбрать k позиций и заполнить остальные.
«Не более k»: сумма случаев 0, 1, …, k.
«Не менее k»: всего − случаи 0, 1, …, k−1.
«Ни одного»: убрать символ из алфавита.
Для нескольких запретов используйте включение-исключение.

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|«хотя бы один» = всего − «ни одного»

Соседние символы и чередование

Запрет на одинаковые соседние символы или требование чередования удобно разбирать по позициям. Если чередуются гласные и согласные, есть два случая: слово начинается с гласной или с согласной. Для запрещённых пар иногда помогает метод блоков и дополнение.

«Никакие две одинаковые рядом»: каждую следующую букву выбирают не равной предыдущей.
Для двух сортов символов при чередовании сначала выберите схему ЧГЧГ… или ГЧГЧ…
При чередовании учитывайте, что гласных и согласных должно хватать.
«Между двумя буквами только...» — фиксируйте отрезок между ними.
Блок из повторяющихся букв считается одним объектом, но его позиция важна.
Проверяйте, не пересекаются ли запрещённые вхождения.

схема 1: Г С Г С …схема 2: С Г С Г …

Алфавитный порядок: слово → номер

Слова в алфавитном порядке — это числа в системе счисления с основанием n. Первой букве соответствует 0, второй 1 и так далее. Номер слова на единицу больше его числового значения, потому что нумерация начинается с 1.

Отсортируйте алфавит и замените буквы цифрами 0, 1, 2, …
Запишите слово как число в системе с основанием n.
Переведите число в десятичную систему.
Прибавьте 1, если список нумеруется с единицы.
Для обратного алфавитного порядка буквы нумеруются с конца.
Если в списке слова разной длины, сначала вычитают блоки коротких слов.

значение = Σ digit_i · n^(L−1−i)номер = значение + 1

Номер → слово

Обратная задача решается переводом номера в систему счисления с основанием n. Сначала из номера вычитают 1, затем переводят в base n и дополняют ведущими нулями до нужной длины. Нули соответствуют первой букве алфавита.

Вычтите 1, если нумерация с единицы.
Переведите число в систему n делением на n.
Дополните запись слева нулями до длины L.
Замените цифры буквами по алфавиту.
Для списков разной длины сначала найдите блок длины: 1, n, n^2, …
Проверьте, что старшая цифра не ноль, если это число, а не слово.

номер − 1 → base n0 → первая буква алфавита

Перестановки букв заданного слова

Если сказано «переставляет буквы слова», порядок букв меняется, а количество каждой буквы сохраняется. Повторяющиеся буквы дают одинаковые слова, поэтому используйте формулу с факториалами. Для проверки программы применяйте set(permutations(...)), иначе одинаковые слова посчитаются несколько раз.

Сначала выпишите количество каждой буквы.
Всего перестановок L!, если все буквы разные.
При повторах делите на факториалы количеств.
Фиксированная буква или пара букв уменьшает число вариантов.
Палиндром определяется зеркальными позициями.
В Python: set(permutations(word)) убирает повторы, permutations — нет.

P = L! / (n1! · … · nk!)

Сложные условия

Если условий несколько, разбейте задачу на случаи или используйте дополнение. Включение-исключение помогает, когда списки пересекаются. Для «только в одном списке» формула |A| + |B| − 2|A ∩ B|. Если ручной разбор становится длинным, проверьте идею перебором.

Разбейте на непересекающиеся случаи по первой букве, позиции или количеству.
Для пересечения списков найдите общий алфавит.
«Только в одном» = |A| + |B| − 2|A ∩ B|.
«Или» требует включения-исключения, «и» — пересечения.
Сложные запреты на соседние буквы удобно считать по схеме позиций.
Суммируйте случаи только после проверки, что они не пересекаются.

|A Δ B| = |A| + |B| − 2|A ∩ B|

Проверка перебором

Для небольших алфавитов и длин (до нескольких миллионов вариантов) можно перебрать все слова программой и проверить условия. Это надёжный способ проверить формулу и найти ответ, но на экзамене важна скорость: 10^6–10^7 вариантов Python обычно выдерживает, 10^9 — уже нет.

product(alphabet, repeat=L) перебирает слова с повторениями.
permutations(alphabet, r=L) — без повторений; для повторяющихся букв используйте set.
sorted(alphabet) задаёт алфавитный порядок.
Счётчик n увеличивайте до проверки условий, если нужен номер слова.
Проверяйте условия через count, in, startswith и срезы.
Если вариантов слишком много, ищите формулу или динамику.

product(n, repeat=L) — n^L вариантовpermutations(n, r=L) — A(n,L) вариантов

Разбор примера

Разбор демоверсии 2027: номер слова в алфавитном списке

Все пятибуквенные слова из букв А, К, Ц, Е, Н, Т записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Нужно найти первое слово с чётным номером, которое не начинается с А, Е или К и содержит хотя бы одну букву Т.

Куда попадает первое подходящее слово
Первая буква	Номера слов	Вывод
А	1–1296	запрещена
Е	1297–2592	запрещена
К	2593–3888	запрещена
Н	3889–5184	проверяем по порядку

Упорядочим алфавит: А, Е, К, Н, Т, Ц. Всего 6 букв.
С фиксированной первой буквой остаётся 6^4 = 1296 слов.
Три запрещённые первые буквы дают 3 · 1296 = 3888 слов.
Значит, первое возможное слово начинается с Н и имеет номер 3889.
Идём по блоку Н: НАААТ (3893) содержит Т, но номер нечётный.
Следующее слово с Т, стоящее на чётном месте, — НААТЕ (3914).
Проверка: 3914 чётное, первая буква Н, буква Т есть. Условия выполнены.

Ответ3914 — слово НААТЕ.

Способы решения

Выберите метод под формулировку

Методы собраны по решениям задания 8 из базы Kompege. Начните с того, что именно нужно найти в условии.

базовый способ

Правило умножения: слова с повторениями

Когда использовать: Каждый символ можно использовать много раз; ограничения касаются позиций или количества одной буквы.

Выпишите алфавит и длину слова.
Для каждой позиции найдите число допустимых символов.
Перемножьте варианты по позициям.
Если буква должна встретиться ровно k раз, выберите k позиций.
Учтите запрет на ведущий ноль, если это число.
Проверьте, что повторения разрешены и вы не считаете лишние ограничения.

Пример

Артём составляет 6-буквенные слова из букв Д, Г, Ш, Я, Б, Ж, причём буква Я появляется ровно один раз. Выбираем позицию для Я: 6 способов. Остальные 5 позиций заполняем любыми из 5 оставшихся букв: 5^5. Итого 6 · 5^5 = 18 750 слов.

Ответ18 750.

По мотивам задачи № 11294 (база Kompege).

все буквы различны

Перестановки без повторений

Когда использовать: Все буквы различны и используются по одному разу; нужно переставить их или выбрать k различных.

Убедитесь, что повторений нет.
Всего перестановок L!.
Для выбора k позиций из n: A(n,k).
Зафиксируйте запрещённые позиции или блоки.
Вычтите запрещённые варианты, если они не пересекаются.
Проверьте, не появился ли ведущий ноль.

Пример

В коде из букв И, Г, Р, О, К каждая буква используется один раз. Всего 5! = 120 слов. Слов, начинающихся с К, — 4! = 24. Слов с блоком РОК: считаем РОК одним объектом вместе с И и Г, получаем 3! = 6; они не начинаются с К, поэтому вычитаем отдельно. Ответ: 120 − 24 − 6 = 90.

Ответ90.

По мотивам задачи № 1984 (база Kompege).

анаграммы

Перестановки с повторяющимися буквами

Когда использовать: Буквы переставляются, но среди них есть одинаковые; нужно не посчитать одно слово несколько раз.

Посчитайте количество каждой буквы.
Всего позиций L.
Разделите L! на факториалы повторений.
Для дополнительного условия используйте относительный порядок букв или перебор.
Проверьте ответ на маленьком примере.
Не используйте permutations без set, если есть повторы.

Пример

В слове ВИКТОРИЯ 8 букв, причём И встречается дважды. Всего различных перестановок 8! / 2! = 20 160. Из них в трети случаев буква О стоит между двумя И (относительный порядок ИОИ), то есть 6 720. Значит, О не между И в 20 160 − 6 720 = 13 440 словах.

Ответ13 440.

По мотивам задачи № 11697 (база Kompege).

всего минус запрет

Дополнение: «хотя бы один»

Когда использовать: В условии «хотя бы один», «есть хотя бы одна» или проще посчитать запрещённое.

Посчитайте все варианты без ограничений.
Посчитайте варианты, где нужного символа нет совсем.
Вычтите второе из первого.
Для нескольких символов используйте включение-исключение.
Проверьте, что «хотя бы один» не заменено на «ровно один».
Убедитесь, что остальные ограничения учтены в обоих подсчётах.

Пример

Слова длины 4 из Л, Е, Т, О, буква Е хотя бы один раз. Всего 4^4 = 256. Без Е остаётся 3 буквы, значит 3^4 = 81 слово. Ответ: 256 − 81 = 175.

Ответ175.

По мотивам задачи № 193 (база Kompege).

запреты на пары

Соседние символы и чередование

Когда использовать: Нельзя ставить одинаковые буквы рядом; гласные и согласные должны чередоваться; есть запрет на пары.

Определите, какие пары или чередования запрещены.
Разбейте позиции на чётные и нечётные.
Рассмотрите два случая: первая позиция из первой группы и из второй.
Для каждого случая перемножьте число выборов по позициям.
Сложите случаи, если они не пересекаются.
Проверьте запрет на ведущий ноль.

Пример

Пятизначные десятичные числа, все цифры различны, чётные и нечётные чередуются. Случай 1: позиции 1, 3, 5 нечётные. Тогда 5 · 4 · 3 = 60 способов для них и 5 · 4 = 20 для чётных позиций, всего 1200. Случай 2: позиции 1, 3, 5 чётные. Первая цифра не 0: 4 · 4 · 3 = 48, для нечётных позиций 5 · 4 = 20, всего 960. Итого 1200 + 960 = 2160.

Ответ2160.

По мотивам задачи № 12227 (база Kompege).

перевод в систему n

Алфавитный порядок: слово → номер

Когда использовать: Слова выписаны в алфавитном порядке; нужно найти номер слова или сравнить номера.

Отсортируйте алфавит.
Замените буквы цифрами с 0.
Запишите слово как число в системе n.
Переведите в десятичную систему.
Прибавьте 1, если нумерация с единицы.
Проверьте порядок алфавита: Ё, Й и регистр не должны сбивать.

Пример

Для слов из Д, Р, С, Щ, Э алфавит: Д=0, Р=1, С=2, Щ=3, Э=4. Слово ЩДЩД — это 3030 в пятеричной системе: 3 · 125 + 0 · 25 + 3 · 5 + 0 = 390. Номер на единицу больше: 391.

Ответ391.

По мотивам задачи № 11295 (база Kompege).

обратный перевод

Номер → слово

Когда использовать: Известен номер слова, нужно восстановить само слово.

Определите длину слова: вычитайте блоки n, n^2, … пока номер не попадёт в нужный блок.
Вычтите 1, если нумерация с единицы.
Переведите остаток в систему n.
Дополните слева нулями до длины L.
Замените цифры буквами.
Проверьте, что первая буква не нарушает ограничение.

Пример

Коды из 26 латинских букв, длины 1, 2, 3, …; номер 777332. Сумма блоков длин 1–4: 26 + 676 + 17 576 + 456 976 = 475 254. Остаток 302 078, после вычитания 1 получаем 302 077. В base26 это 0, 17, 4, 22, 9, то есть A, R, E, W, J.

ОтветAREWJ.

По мотивам задачи № 19267 (база Kompege).

сравнение позиций

Разность номеров и слова между

Когда использовать: Нужно найти разность номеров двух слов или сколько слов стоит между ними.

Найдите номер первого слова.
Найдите номер второго слова.
Для «между» вычтите номера и ещё 1.
Для разности достаточно вычесть номера.
Если слова разной длины, учитывайте блоки коротких слов.
Проверьте знак: из большего номера вычитайте меньший.

Пример

Алфавит из 33 букв, все слова длины 7. Номер слова равен 1 + сумме индексов букв, умноженных на степени 33. Для РЕСУРСЫ и ПОЗИЦИЯ считаем по этой формуле; разность номеров равна 912 362 315.

Ответ912 362 315.

По мотивам задачи № 14303 (база Kompege).

перенумерация

Фильтры и удаление слов из списка

Когда использовать: Из списка удаляют каждое k-е слово, нумеруют заново или накладывают фильтр на номер.

Найдите исходный номер слова.
Определите, сколько слов удалено до него: floor(номер / k), если удаляют каждое k-е.
Новый номер: номер − число удалённых.
Если слово само удалено, возьмите следующее подходящее.
Для фильтра по номеру проверяйте номер после пересчёта.
Проверьте, что нумерация начинается с 1.

Пример

Алфавит А, В, И, К, П, Р, Ч, Ы; слова длины 5. Первое слово только из различных согласных — ВКПРЧ, его номер 5935, но он делится на 5, поэтому слово удалено. Следующее ВКПЧР имеет номер 5942. После удаления каждого пятого новый номер: 5942 − 1188 = 4754.

Ответ4754.

По мотивам задачи № 13298 (база Kompege).

пересечение алфавитов

Включение-исключение и два списка

Когда использовать: Есть два списка слов, нужно найти слова только в одном списке или пересечение.

Найдите мощности обоих списков.
Найдите общий алфавит и мощность пересечения.
Для «только в одном» используйте |A| + |B| − 2|A ∩ B|.
Для «хотя бы в одном» — |A| + |B| − |A ∩ B|.
Проверьте, что списки заданы одним и тем же алфавитом.
Убедитесь, что длины слов одинаковы, иначе пересечение сложнее.

Пример

Первый список: 5-буквенные слова из К, О, Н, Е, Ц — 5^5 = 3125. Второй: из Д, Р, А, К, О, Н — 6^5 = 7776. Общие слова используют только К, О, Н: 3^5 = 243. Только в одном списке: 3125 + 7776 − 2 · 243 = 10 415.

Ответ10 415.

По мотивам задачи № 13253 (база Kompege).

проверка и страховка

Универсальный перебор программой

Когда использовать: Вариантов не слишком много или нужно проверить формулу; удобно перебрать все слова программой.

Запишите алфавит в нужном порядке.
Выберите product или permutations.
Увеличивайте счётчик и проверяйте все условия.
Для номера слова увеличивайте счётчик до проверки.
Для повторяющихся букв используйте set(permutations(...)).
Если вариантов больше 10^7, ищите формулу или динамику.

Пример

В списке слов из Л, О, Г, А, Р, И, Ф, М нужно найти количество слов с чётными номерами, которые не начинаются на ЛМ и содержат не менее двух И. Перебор по 8^5 = 32 768 словам занимает доли секунды.

from itertools import product

k = n = 0
for letters in product(sorted('ЛОГАРИФМ'), repeat=5):
    s = ''.join(letters)
    n += 1
    if n % 2 == 0 and s[:2] != 'ЛМ' and s.count('И') >= 2:
        k += 1
print(k)

Ответ1288.

По мотивам задачи № 11227 (база Kompege).

Шпаргалка: формулировка → метод

В условии	Что делать
«каждая буква сколько угодно раз»	n^L
«каждую букву ровно один раз»	L!
«все буквы различны, выбрать k»	A(n,k) = n! / (n−k)!
«порядок не важен»	C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!)
«ровно k раз буква X»	выбрать k позиций и заполнить остальные
«хотя бы один раз»	всего − варианты без этой буквы
«не более k»	сумма случаев 0, 1, …, k
«не менее k»	всего − случаи 0, 1, …, k−1
«никакие две одинаковые рядом»	каждую следующую букву выбирать не равной предыдущей
«чередуются гласные и согласные»	два случая: ГСГС… и СГСГ…
«в алфавитном порядке, под каким номером»	перевести слово в систему n и прибавить 1
«какое слово под номером»	вычесть 1, перевести в base n, дополнить нулями
«списки разной длины»	вычитать блоки n, n^2, …
«удалили каждое k-е»	номер − floor(номер / k)
«слова между A и B»	номер(B) − номер(A) − 1
«только в одном из списков»	\|A\| + \|B\| − 2\|A ∩ B\|
«перестановки слова с повторами»	L! / (n1! · … · nk!)
«палиндром»	зеркальные позиции должны совпадать
«ответ — слово»	не потерять ведущие нули и букву А
«вариантов слишком много»	искать формулу, динамику или рекурсию

Видеоразборы по теме

Видеоразборы открытого курса КомпЕГЭ; для заданий 8–12 и 27 — дополнительные разборы демоверсии 2027.

По базе Kompege: 1 476 задач, 137 решений (126 программных и 11 текстовых) и 324 видеоразбора (233 YouTube, 56 VK, 35 Rutube) по заданию 8. При подготовке методов использованы решения задач № 11227, 11294, 11295, 11345, 11697, 12227, 13253, 13298, 14303, 14903, 17088, 19267, 1984, 20223 и материалы задач № 183, 193, 31505; примеры переработаны в учебные.

Разборы из видео

Задачи, которые разбирают в курсе

Условия и код показаны в кадре в конце соответствующего фрагмента. Источники задач — КомпЕГЭ, сайт К. Полякова, ФИПИ и другие.

Пример 5

разбор из видео · 2024

6-буквенные слова с одной О

Вася составляет 6-буквенные слова из букв К, Р, О, Т; буква О встречается ровно один раз, остальные буквы — любое число раз. Сколько таких слов?

Ответ1458

Смотреть с 13:15

Полный архив

Все фрагменты видеоразборов

По одному пункту на каждую главу: условие или код из кадра, ответ и ссылка. Источники задач — КомпЕГЭ, сайт К. Полякова, ФИПИ и другие; номер берётся из кадра. Текст с экрана распознан автоматически, служебные строки и артефакты удалены; если текст нечитаем, остаются название, таймкод и ссылка.

Показать все фрагменты (46)

2024 · 00:00 Приветствие

1) — Сколько слов длины 4, начинающихся с согласной буквы, можно составить из букв Л, Е, Т, 0? Каждая буква может fb в слово несколько раз. Слова не обязательно должны быть "осмысленными словами русского языка. 2} — Сколько слов длины 5, начинающихся с согласной буквы и заканчивающихся гласной буквой, можно составить из букв К, У, М, A? Каждая буква может входить в слово несколько раз. 3) — Алексей составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению "соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Алексей использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы А, В, С, Х, причём буква X мо

Смотреть с 00:00

2024 · 01:30 Правило произведения 1

1} — Сколько слов длины 4, начинающихся с согласной буквы, можно составить из букв Л, Е, T, О? Каждая буква может входить в слово несколько раз. Слова не обязательно должны быть — ‚можно составить из букв К, У, M, А? Слои обязательно должны быть осмысленными словами русского языка. — 3) Алексей составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению "соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Алексей использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы А, В, С, Х, причём буква Х может появиться на последнем месте или не "появиться вовсе. Сколько различных кодовых слов может использовать Алексей?

Смотреть с 01:30

2024 · 05:10 Правило произведения 2

1) — Сколько слов длины 4, начинающихся с согласной буквы, можно составить из букв Л, Е, Т, 0? Каждая буква может входить в слово несколько раз. Слова не обязательно должны быть, "осмысленными словами русского языка. 2} — Сколько слов длины 5, начинающихся с согласной буквы и заканчивающихся гласной буквой, можно составить из букв К, У, М, A? — 3) Алексей составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению "соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Алексей использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы А, В, С, Х, причём букв

Смотреть с 05:10

2024 · 06:55 Правило прозведения 3

1) Сколько слов длины 4, начинающихся с согласной буквы, можно составить из букв Л, Е, Т, 0? Каждая буква может входить в слово несколько раз. Слова не обязательно должны быть "осмысленными словами русского языка. 2} — Сколько слов длины 5, начинающихся с согласной буквы и заканчивающихся гласной буквой, можно составить из букв К, У, М, А? 3) — Алексей составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению "соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Алексей использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы А, В, С, Х, причём буква Х

Смотреть с 06:55

2024 · 09:05 Правило произведения 4

последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 6) — вася составляет 6-буквенные слова, в которых есть только буквы К, А, Н, Т, причём буква К используется в каждом слове ровно 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые Кужанова) Леся составляет слова из букв A, H, И, М, Е. Слово может иметь длину от 4 до 6 букв. Сколько слов может составить Леся? 8) — (А Куканова) Маша составляет 6.бунвенные слова из букв 3, Е, P, К, A, Л, О, содержащие одну "букву Китр

Смотреть с 09:05

2024 · 13:15 Размещение 1

последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 6) — вася составляет 6-GykBeHHbIe слова, в которых есть только буквы К, А, Н, Т, причём буква К используется в каждом слове ровно 2 раза. Каждая из других допустимых був может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые Кужанова) Леся составляет слова из букв А, H, И, М, Е. Слово может иметь длину от 4 доб букв. Сколько слов может составить Леся? 8) — (А Куканова) Маша составляет 6.бунвенные слова из букв 3, Е, Р, К, A, Л, О, содержащие одну "букву Китри

Смотреть с 13:15

2024 · 19:15 Размещение 2

последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 6) — вася составляет 6.бунвенные слова, в которых есть только буквы К, А, Н, Т, причём буква К "используется в каждом слове ровно 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 7} (А Кунанова) Леся составляет слова из букв A, H, И, М, Е. Слово может иметь длину OT 4 доб букв. Сколько слов может составить Леся? 8) — (А куканова) Маша составляет 6-буквенные слова из букв 3, Е, Р, К, А, Л, О, содержащие одну букву

Смотреть с 19:15

2024 · 27:35 Размещение 3

последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 6) — вася составляет 6-буквенные слова, в которых есть только буквы К, A, Н, Т, причём буква К используется в каждом слове ровно 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые куканова) Леся составляет слова из букв A, Н, И, М, Е. Слово может иметь длину от 4 до 6 букв. Сколько слов может составить Леся? Куканова) Маша составляет 6-бунвенные слова из букв 3, Е, P, К, А, Л, О, содержащие одну букву Китри буквы А

Смотреть с 27:35

2024 · 37:45 Подслучаи 1

"последовательность буке, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 10) — Вася составляет 3.буквенные слова, в которых есть только буквы К, А, T,E,P, причём буква P "используется в каждом слове хотя бы 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любзя допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная, Сколько существует таких слов, которые. 11) Василий составляет -буквенные коды из буке Б, E, P, КЛ, И, Й. Каждую букву можно "использовать любое количество раз, при этом нодне мёжет начинаться с буквы Й и должен содержать. хотя бы одну гласную. Сколько различных кодов мо

Смотреть с 37:45

2024 · 41:55 Подслучаи 2

последовательность буке, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 10) Baca составляет 3-буквенные слова, в которых есть только буивы К, А, Т, Е.Р, причём буква P используется вкзждом слове хотя бы 2 раза. Kanaan из apy допустимых букв монет встречаьяв ЗЕ слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодов может составить

Смотреть с 41:55

2024 · 50:35 Подслучаи 3

последовательность буке, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 10) — Вася составляет 3.буквенные слова, 8 которых есть только буквы К, А, Т,Е,Р, причём буква P "используется в каждом слове хотя бы 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в nose любое ноличество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность буке, не обязательно осмысленная, Сколько существует таких слов, которые 11) Василий составляет -буквенные коды из буке Б, Е.Р, КЛ, И, Й. хотя бы одну гласную. Сколько различных кодов может

Смотреть с 50:35

2024 · 52:45 Подслучаи 4

Сколько существует таких слов, которые может написать Вася? Е 10} — Вася составляет 3-буквенные слова, в которых есть только буквы К, А, Т, Е, P, причём бунва P у. "используется в каждом слове хотя бы 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в ЗЕ. Словом считается любая допустимая последовательность букв, He обязательно осмысленная, Сколько сущестнет таних слов, которые mower написать Baca? Сколько различных нодра монет составить Васиинё? бушва №, слово He может начинаться на букву Ф и заканчиваться буквой Р. 12} Ученица составляет 5 буквенные слова из букв ЖИРАФ. При этом в камдом слове ровно одна Pp т "может составить ученица?

Смотреть с 52:45

2024 · 1:13:50 Подслучаи 5

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 1:13:50

2024 · 1:19:10 Перестановки 1 1954

Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом KoA He может начинаться сбунвыЙ ине может содержать сочетания ИА. Сколько различных кодов может составить Вася? 15) Петя составляет 5-буквенные слова из букв К, О, Л, У, H. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом код при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных кодов может составить Петя? 16} — Маша составляет 7-Gyxsenntie коды из букв П, Е, C, K,A, P, b. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при э

Смотреть с 1:19:10

2024 · 1:23:15 Перестановки 2

15) Петя составляет 5-буквенные слова из букв К, О, Л, У, Н. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом код при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных кодов может составить Петя? 16) — Маша составляет 7-буквенные коды из букв П, Е, C, K,A, Р.Ь. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом код буква b не может стоять на первом месте, a также перед буквами E, Аир. "Сколько различных кодов может составить Маша?

Смотреть с 1:23:15

2024 · 1:31:35 Перестановки 3

Сколько всего, различных слов может составить Петя? 14) Вася составляет 5-буквенные коды из букв К, А, Л, И, A. 15) — пая составляет 5-буквенные слова из букв К, О, Л, У, Н. Каждую букву нужно использовать Bowe 3 аз при том кодпри том нельзя совить подряд до ace или две сосны, HOMERS различных кодов может составить Петя? 16) — Маша составляет 7-буквенные коды из букв П, Е, C, K,A, P, b. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом код буква b

Смотреть с 1:31:35

2024 · 1:34:30 Перестановки 4

Сколько всего различных слов может составить Петя? 14} — вася составляет 5 бушвенные коды из букв К, А, Л, И, Й. Кождию буиву нужно использовать различных кодов может составить Вася? "Сколько различных кодов может составить Маша? Kaxayio букву нужно использовать 4

Смотреть с 1:34:30

2024 · 1:43:40 Числа 1

17) — Сколько существует чисел, восьмеричная запись которых содержит 6 цифр, причём все цифры различны и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом. Куканова) Мила составляет 4-значные числа в 8-ичной системе. Сколько различных чисел, "делящихся на 4 без остатка, может составить Мила? Сколько существует шестнадцатеричных трёхзначных чисел, в которых все цифры различны и никакие две чётные или две нечётные цифры "Сколько существует восьмеричных пятизначных чисел, не содержащих в своей записи цифру 1, в которых все цифры различны и никакие две чётные или две нечётные цифры не стоят рядом?

Смотреть с 1:43:40

2024 · 1:50:15 Числа 2

Kyxanosa) Миля составляет 4-значные числа в Bano системе. Оолько существует восьмеричных пятизначных чисе. Me содержащих своей залиси цифру 1,8 которых все цифры различны и никакие две Tite или дво немые цифры но стоят рядом?

Смотреть с 1:50:15

2024 · 1:53:35 Числа 3

Kywanosa) Мила составляет 4значные числа о В-ичной системе. Сколько различных чисел, "делящихся на 4 без octarwa, может составить Мила? "Сколько существует шестнадцатеричных трёкзначных чисел, в которых все цифры различны и никакие ABE чётные или две нечетные цифры

Смотреть с 1:53:35

2024 · 1:56:00 Числа 4

Сколько существует чисел, восьмеричная запись которых содернит 6 цифр, причём все цифры различны иникакие дое чётные и две нечётные цифры не CTORT рядом. Kywanosa) Мила составляет 4.значные числа о -ичной системе. Сколько различных чисел, "делящихся на 4 без octarwa, может составить Мила? не содержащих своей залиси цифру 1, которых все цифры различны и никакие „две чётные или дво нечетные цифры но CTORT рядом?

Смотреть с 1:56:00

2024 · 2:00:15 Окончание и напутствия

Сколько существует таких слов, которые может написать Вася? 6) — вася составляет 6-бунвенные слова, в которых есть только буквы К, А, Н, T, причём буква К используется в каждом слове ровно 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Куканова) Леся составляет слова из букв A, H, И, М, Е. Слово может иметь длину OF до 6 букв. Сколько слов может составить Леся? 8) — (А куканова) Маша составляет 6-бунвенные слова из букв 3, Е, P, К, A, Л, О, содержащие одну буквуКитри буквы А.

Смотреть с 2:00:15

2024 · 00:00 Приветствие

Смотреть с 00:00

2024 · 01:55 Перебор слов 1

1) — Сколько слов длины 4, начинающихся с согласной буквы, можно составить из букв Л, Е, Т, 0? Каждая буква может входить в слово несколько раз. Слова не обязательно должны быть "осмысленными словами русского языка. Каждая бука может входить в слово несколько раз. 3) — Алексей составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Алексей использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы А, В, С, Х, причём буква X может появиться на последнем месте или не появиться вовсе. Сколько различных кодовых слов м

Смотреть с 01:55

2024 · 09:55 Перебор слов 2

Сколько слов длины 4, начинающихся с согласной буквы, можно составить из букв Л, Е, Т, 0? Каждая буква может входить в слово несколько раз. Слова не обязательно должны быть, "осмысленными словами русского языка. 2} — Сколько слов длины 5, начинающихся с согласной буквы и заканчивающихся гласной буквой, можно составить из букв К, У, М, A? 3) — Алексей составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению "соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Алексей использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы А, В, С, Х, причём буква Х может появиться на последнем месте или не "появиться вовсе. Снолько различных кодовых слов может использовать Аленсей? 4) — Иван составляет 5-буквенные словаиз букв А.Б.

Смотреть с 09:55

2024 · 11:50 Перебор слов 3

1) Сколько слов длины 4, начинающихся с согласной буквы, можно составить из букв Л, Е, Т, 0? Каждая буква может входить в слово несколько раз. Слова не обязательно должны быть "осмысленными словами русского языка. 2} — Сколько слов длины 5, начинающихся с согласной буквы и заканчивающихся гласной буквой, можно составить из букв К, У, М, А? "соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Алексей использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы А, В, С, Х, причём буква X может появиться на последнем месте или не появиться вовсе.

s = ''.join(x)
print(k)
for b in
for din

Смотреть с 11:50

2024 · 13:45 Перебор слов 4

последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые +1 6) Вася составляет 6-буквенные слова, в которых есть только буквы К, А, H, T, причём буква К используется в каждом слове ровно 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться B слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 7) ЦА куканова) Леся составляет слова из букв А, Н, И, М, Е. Слово может иметь длину от 4 доб букв. Сколько слов может составить Леся? 8) — (А куканова) Маша составляет 6-буквенные слова из букв 3, Е, Р, К, А, Л, О, содержащие одну букву

Смотреть с 13:45

2024 · 16:30 Размещения букв 1

последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 6) Вася составляет 6-буквенные слова, в которых есть только буквы К, A, H, T, причём буква К используется в каждом слове ровно 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться B слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 7) ЦА куканова) Леся составляет слова из букв А, Н, И, М, Е. Слово может иметь длину от 4 доб букв. Сколько слов может составить Леся? 8) — (А куканова) Маша составляет 6-бунвенные слова из букв 3, Е, P, K, A, Л, О, содержащие одну буквуКит

Смотреть с 16:30

2024 · 22:10 Размещения букв 2

последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 6) — вася составляет 6-буквенные слова, в которых есть только буквы К, А, Н, Т, причём буква К используется в каждом слове ровно 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые куканова) Леся составляет слова из букв А, Н, И, М, Е. Слово может иметь длину от 4 до 6 букв. Сколько слов может составить Леся? 8) — (А куканова) Маша составляет 6-бунвенные слова из букв 3, Е, P, К, A, Л, О, содержащие одну буквуКитри

from itertools import *
s = ''.join(x)
for x in product('KAHT',repeat = 6):
print(k)

Смотреть с 22:10

2024 · 23:35 Размещения букв 3

последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 6) — вася составляет 6-бунвенные слова, в которых есть только буквы К, А, Н, Т, причём буква К используется в каждом слове ровно 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые куканова) Леся составляет слова из букв А, H, И, М, Е. Слово может иметь длину от 4 доб букв. Сколько слов может составить Леся? Куканова) Маша составляет 6-буквенные слова из букв 3, Е, P, К, A, Л, О, содержащие одну букву Китри буквы А.

from itertools import *
if s.count('k')
print(k)
from itertools import * o

Смотреть с 23:35

2024 · 27:00 Разная длина слов

последовательность буке, не обязательно осмысленная. Каждая из других допустимых букв может встречаться в. хотя бы одну гласную. Сколько различных кодов может составить Васил

Смотреть с 27:00

2024 · 30:00 Размещения букв 4

последовательность буке, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 10) — Вася составляет 3.буквенные слова, 8 которых есть только буквы К, А, Т,Е, Р, причём бунва P "используется в каждом слове хотя бы 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в nose любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любзя допустимая "последовательность букв, не обязательно осмыслени 175. 11) Василий составляет буквенные коды из" использовать любое количество раз, при этомнодне м хотя бы одну гласную.

from itertools import *
print(k)

Смотреть с 30:00

2024 · 31:45 Размещения букв 5

последовательность буке, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 10) Baca составляет 3-буквенные слова, в которых есть только буквы К, А, T,E,P, причём буква P "используется в каждом слове хотя бы 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в (nose любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность буко, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые. 11) Василий составляет буквенные коды из буке Б, ЕР, КЛ, И, Й. хотя бы одну гласную. Сколько различных кодов может со

from itertools import *
for x in product( "ЛЕТО" ;repeat = 4):
s = ''.join(x)
if s.count("E" )>
print(k)
s =‘ .join(x)

Смотреть с 31:45

2024 · 33:30 Начало и конец слова, содержание букв 1

последовательность буке, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 10) — Вася составляет 3.буквенные слова, в которых есть только буквы К, А, Т,Е,Р, причём буква P "используется в каждом слове хотя бы 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в nose любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любзя допустимая последовательность буке, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые. 11) Василий составляет -буквенные коды из букв Б, Е.Р, КЛ, И, Й. Каждую букву можно использовать любое количество раз, при этом нодне мёжет начинаться с буквы Й и должен содержать хотя бы одну гласную. Сколько различных кодов может с

from itertools import *
if s.count("E" )>=1:
print(k)
s = ''.join(x)

Смотреть с 33:30

2024 · 40:40 Начало и конец слова, содержание букв 2

последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые 6) Вася составляет 6-буквенные слова, в которых есть только буквы К, A, H, T, причём буква К "используется в каждом слове ровно 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые куканова) Леся составляет слова из букв А, Н, И, М, Е. Слово может иметь длину от 4 до 6 букв. Сколько слов может составить Леся? 8) (А Куканова) Маша составляет 6-бунеВнные слова из букв 3, Е,Р, K, A, Л, О, содержащие одну буквуКитри букв

from itertools import *
for x in product(’KPOT’, repeat = 6):
s = ''join(x)
for x in product(’KAHT’ repeat = 6):
print(k)
s = ''.join(x) . kta

Смотреть с 40:40

2024 · 43:05 Перестановки 1

Сколько всего различных слов может составить Петя? 34} — Вася составляет 5-буквенные коды из букв К, А, Л, И, Й. Сколько различных модов может составить Вася? 15) Петя составляет 5-буквенные слова из букв К, О, Л, У, Н. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом код при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных кодов может составить Петя? 16) — Маша составляет 7-буквенные коды из букв П, Е, C, K, A, P, b. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, пр

Смотреть с 43:05

2024 · 49:50 Перестановки 2 (чередование букв)

ровно 1 раз, при этом код при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных кодов может составить Петя? 16) — Маша составляет 7-бунвенные коды из букв П, Е, C, K,A, P, b. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом код буква b не может стоять на первом месте, a также перед буквами Е, Аир. (Сколько различных кодов может составить Маша?

from itertools import *
print(k)
for x in permutations('KonyH'):
s = ''.join(x)

Смотреть с 49:50

2024 · 57:45 Перестановки 3

Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом KoA Me может начинаться буквы Йи He можетсодернать сочетания MA. "различных кодов может составить Вася? 15) Петя составляет 5-буквенные слова из букв К, О, Л, У, H. Каждую букву нужио использовать различных кодов может составить Петя? 16) — Маша составляет 7.буквенные коды из букв П, Е, С, K,A, P, b. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом код буква b не может стоять на первом месте, a также перед буквами E, Аир.

from itertools import *
for x in permutations( 'ECKAPb'):
print(k)
for x in permutations( ‘KA/titl’ ):
if s[0]!="" and ‘wa’ not in s:
s = ''.join(x)

Смотреть с 57:45

2024 · 1:01:00 Перестановки 4 (одинаковые буквы)

ровно 1 раз, при этом KoA Me может начинаться с буквы Йи He можетсодернать сочетания ИА. Сколько, различных кодов может составить Вася? 415) Петя составляет 5-буквенные слова из букв К, О, Л, У, H. Каждую букву нужио использовать ровно 1 раз, при этом код при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько, различных кодов может составить Петя? 16 — Маша составляет 7.буквенные коды из букв П,Е, С, К, А, P, b. Каждую буквунужно использовать ровно 1 раз,

print(k)
from itertools import *
for x in set(permutations( 'АССАСИН')):

Смотреть с 1:01:00

2024 · 1:06:40 Перебор чисел 1 (чередование цифр)

17) — Сколько существует чисел, восьмеричная запись которых содержит 6 цифр, причём все цифры различны и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом. Куканова) Евгения составляет 4-значные числа в 8-ичной системе счисления. Числа должны начинаться с чётной цифры, и цифры в них располагаются в невозрастающем порядке. Сколько различных чисел может составить Евгения? Сколько существует восьмеричных пятизначных чисел, не содержащих в своей записи цифру 1, в которых все цифры различны и никакие две чётные или две нечётные цифры не стоят рядом?

Смотреть с 1:06:40

2024 · 1:14:00 Перебор чисел 2 (порядок возр/уб)

Сколько существует чисел, восьмеричная запись которых содержит 6 цифр, причём все цифры. Е различны и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом. Куканова) Евгения составляет 4-значные числа в 8-ичной системе счисления. Числа должны начинаться с чётной цифры, и цифры в них располагаются в невозрастающем порядке. Сколько различных чисел может составить Евгения? Сколько существует восьмеричных пятизначных чисел, не содержащих в своей запи' две чётные или две нечётные цифры не стоят рядом?

Смотреть с 1:14:00

2024 · 1:24:50 Пронумерованный список 1

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 1:24:50

2024 · 1:28:35 Пронумерованный список 2

from itertools import *
for x in product(sorted( 'Aoy'),repeat = 5):
print(k, 5)

Смотреть с 1:28:35

2024 · 1:29:45 Пронумерованный список 3

Ss = *join(x)
from itertools import *
s = ''.Join(x)
print(k, 5)
last = 0
last = k

Смотреть с 1:29:45

2024 · 1:33:45 Пронумерованный список 4

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 1:33:45

2024 · 1:38:25 Окончание и напутствия

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 1:38:25

Типичные ошибки

алфавит и длина слова перепутаны
не учтены повторяющиеся буквы
забыт запрет на ведущий ноль
«хотя бы один» заменено на «ровно один»
не учтён порядок слов в списке
номер и количество слов перепутаны
забыто прибавление единицы
неверно выбрано основание системы счисления
одинаковые перестановки посчитаны несколько раз
запрещённые случаи вычтены дважды
не проверено, что случаи не пересекаются
перебор считает слова не в том порядке

Ключевые формулы

n^L — слова с повторениями
P = L! — перестановки без повторений
P = L! / (n1! · … · nk!) — перестановки с повторами
A(n,k) = n! / (n−k)!
C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!)
номер = значение в системе n + 1

Практика

ФИПИОткрытый банк заданий Навигатор · 2026Теория ДемоверсияКИМ 2027 МетодикаРазбор ошибок 2026

Навигатор и методические рекомендации опубликованы в 2026 году: номера заданий в них могут отличаться от нумерации 2027 года. Ориентируйтесь на тему.