Алгоритмы и программирование · 1 балл

Исполнители и координаты

Рисование и подсчёт точек

Выполнить алгоритм исполнителя и найти точки, площадь, периметр или расстояние.

Алгоритмы целое число

Что проверяет

Определение возможных результатов работы простейших алгоритмов управления исполнителями и вычислительных алгоритмов.

Основание: проект спецификации и кодификатора КИМ 2027. Открыть документы

Теория

Что нужно знать

Задание 6 проверяет умение выполнять алгоритм исполнителя и отвечать на вопрос о следе: сколько целых точек внутри фигуры, на границе, какова площадь, периметр или расстояние. В проекте КИМ 2027 структура не менялась: 1 первичный балл, раздел «Алгоритмы и программирование». В демоверсии 2027 Черепаха рисует две фигуры, и нужно найти число целых точек в их пересечении.

Минимум для задания 6

какие команды есть у исполнителя и что они меняют
где исполнитель находится в начале и куда направлен
как устроена запись «Повтори k [...]»
как определить координаты после каждой команды
чем отличаются «Поднять хвост» и «Опустить хвост»
что значит «внутри», «на границе», «включая границы»
как считать целые точки в прямоугольнике и треугольнике
как найти пересечение и объединение фигур
как формула Пика и НОД помогают считать точки
когда нужен перебор, а когда достаточно формулы
в каких единицах требуется ответ

Что происходит в задании 6

Дан алгоритм исполнителя: Черепахи, Чертёжника, Кузнечика, Вертуна, Водолея или похожего персонажа. Нужно выполнить команды и ответить на вопрос о следе, который остался на плоскости или на клетчатом поле.

Исполнитель начинает в начале координат; начальное направление и положение пера или хвоста заданы в условии.
Команды движения меняют координаты, команды поворота — направление.
Поднять или опустить хвост (перо) включает и выключает рисование.
«Повтори k [...]» повторяет тело цикла k раз; вложенные циклы перемножаются.
Вопрос может быть про точки, площадь, периметр, расстояние или закрашенные клетки.
Ответ — целое число; единицы измерения в ответ не пишут.

Координаты и направление

Удобно считать, что ось x направлена вправо, ось y — вверх. В задачах про Черепаху начальное направление обычно совпадает с положительным направлением оси y, то есть «на север».

Вперёд n: x увеличивается на n·sin θ, y — на n·cos θ, где θ — угол от направления «на север» по часовой стрелке.
Назад n делает то же самое с минусом; Назад −n эквивалентно Вперёд n.
Направо m: θ увеличивается на m; Налево m: θ уменьшается на m.
После поворота на 90° по часовой стрелке из «севера» получается «восток»: (0, 1) → (1, 0).
У Чертёжника команда «Сместиться на (a, b)» просто прибавляет a к x и b к y; направление для неё не важно.

x' = x + n·sin θy' = y + n·cos θθ' = θ ± m

Циклы и замкнутые фигуры

Повторение одного и того же набора команд рисует правильную фигуру. Тип фигуры зависит от суммарного угла поворота за одну итерацию.

Суммарный поворот 360° за цикл замыкает фигуру.
Повтори 4 [Вперёд a Направо 90] — квадрат a×a.
Повтори 3 [Вперёд a Направо 120] — правильный треугольник.
Повтори 6 [Вперёд a Направо 60] — правильный шестиугольник.
Если за цикл исполнитель поворачивается на 180°, он проходит ту же линию в обратном направлении.
Если суммарный угол не делит 360°, фигура может остаться незамкнутой или образовать звезду.

угол за цикл = k · mчисло сторон = 360 / m, если m делит 360

Что именно считают

От формулировки зависит, включать ли границу и какую величину искать. Прочитайте вопрос до того, как начнёте рисовать.

«Внутри, точки на линии не учитывать» — строгое неравенство: граница не входит.
«Включая точки на границах» — нестрогое неравенство: граница входит.
«Точно на границе» — только точки, лежащие на линиях.
«Площадь» — число квадратных единиц; «периметр» или «длина границы» — сумма длин внешних отрезков.
«Пересечение» — общая часть фигур; «объединение» — всё, что покрыто хотя бы одной фигурой.
«Расстояние между началом и концом» — длина отрезка между двумя положениями исполнителя.
«Сколько клеток закрашено» — количество различных клеток, а не число команд.
При повторной закраске клетка считается один раз, если не сказано «перекрасить».

Целые точки: формулы

Для фигур на клетчатой плоскости удобно считать целые точки по формулам, а не перебирать вручную.

Прямоугольник a×b: площадь ab, периметр 2(a+b).
Строго внутри прямоугольника с целыми углами: (a−1)(b−1) точек.
С границей: (a+1)(b+1) точек.
На отрезке с концами в целых точках: НОД(|dx|, |dy|) + 1 точек, включая концы.
Формула Пика: S = I + B/2 − 1, где I — внутренние точки, B — точки на границе.
Для объединения: |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|; для площади действует та же формула.
Пересечение прямоугольников: x от max(левых границ) до min(правых), y — аналогично.

S = I + B/2 − 1B = Σ НОД(|dx|, |dy|)|A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|

Как проверить себя

Ошибки в задании 6 почти всегда арифметические: не тот знак поворота, потерянный сдвиг или неверно учтённая граница.

Нарисуйте фигуру на бумаге в клетку и подпишите координаты ключевых вершин.
Проверьте, замыкается ли контур: последняя точка должна совпасть с начальной или с началом следующей фигуры.
Сравните площадь и количество точек: для прямоугольника они должны быть близки.
Отдельно проверьте, входят ли границы в ответ.
Если фигур несколько, сначала найдите пересечение, потом применяйте включение–исключение.
Для сложной фигуры запустите программу и сравните её результат с ручной оценкой.

Разбор примера

Учебный пример: две фигуры и их пересечение

Черепаха рисует прямоугольник 30×24, затем с поднятым хвостом смещается на (10, 2) и рисует прямоугольник 71×75. Сколько целых точек лежит в пересечении, включая границы?

Первый прямоугольник: x от 0 до 30, y от 0 до 24.
После подъёма хвоста: Вперёд 2, Направо 90, Вперёд 10, Налево 90 — новое начало (10, 2), направление снова на север.
Второй прямоугольник: x от 10 до 81, y от 2 до 77.
Пересечение: x от max(0, 10) = 10 до min(30, 81) = 30, y от max(0, 2) = 2 до min(24, 77) = 24.
Целых значений x: 30 − 10 + 1 = 21, целых значений y: 24 − 2 + 1 = 23.
Всего 21 · 23 = 483 точки.

Ответ483

Способы решения

Выберите метод под формулировку

Методы собраны по решениям задания 6 из базы Kompege. Начните с того, что именно нужно найти в условии.

базовый способ

Ведём координаты вручную

Когда использовать: Фигура состоит из горизонтальных и вертикальных отрезков, а вопрос — про точки, площадь или периметр.

Запишите начальную точку (0, 0) и начальное направление.
Для каждой команды вычислите новую точку и подпишите её на рисунке.
Отмечайте, опущен ли хвост: поднятый хвост означает, что отрезок не рисуется.
После цикла проверьте, замкнулась ли фигура.
Посчитайте целые точки по строкам или столбцам, не забывая про границу.
Для площади разбейте фигуру на прямоугольники и треугольники.

Пример

Алгоритм Повтори 2 [Вперёд 8 Направо 90 Вперёд 5 Направо 90] рисует прямоугольник 8×5. Внутри, не считая границы, лежит 7·4 = 28 целых точек; площадь равна 40, периметр — 26.

Ответ28 (строго внутри); 40; 26.

Учебный пример по мотивам задач № 4694 и 4717 (база Kompege).

если фигура сложная

Универсальная симуляция на Python

Когда использовать: В алгоритме есть повороты не на 90°, несколько фигур или нужно быстро перебрать много точек.

Заведите переменные x, y и вектор направления (dx, dy).
Команду Вперёд n реализуйте как x += n*dx, y += n*dy.
Поворот направо: (dx, dy) = (dy, -dx); налево: (-dy, dx).
Подъём и опускание пера — логический флаг, который включает добавление отрезка.
Для подсчёта точек переберите x и y в пределах bounding box.
Для площади и периметра сохраните вершины и примените формулу площади многоугольника.

Пример

Прямоугольник 8×5: после выполнения команд сохраняем вершины, а затем перебираем только внутренние целые точки.

x = y = 0
dx, dy = 0, 1          # направление на север
pts = []

for _ in range(2):
    for step in (5, 8):
        x += step * dx
        y += step * dy
        pts.append((x, y))
        dx, dy = dy, -dx   # направо 90°

# строго внутри прямоугольника 8×5
inside = [(i, j) for i in range(1, 8) for j in range(1, 5)]
print(len(inside))  # 28

Ответ28

По мотивам решений задач № 12482 и 13853 (база Kompege).

когда фигура — многоугольник

Формулы: НОД, Пик и площадь

Когда использовать: Вершины имеют целые координаты, а вопрос про площадь, периметр или количество точек.

Выпишите вершины фигуры по порядку обхода.
Площадь многоугольника найдите по формуле Гаусса (шнуровки) или разбейте на прямоугольники и треугольники.
На каждом отрезке число шагов равно НОД(|dx|, |dy|), а число точек — на единицу больше.
Сложите шаги по всем сторонам: получится B — количество различных точек на границе.
Внутренние точки найдите по формуле Пика: I = S − B/2 + 1.
Проверьте, что вершины не посчитаны дважды.

Пример

Чертёжник рисует треугольник с вершинами (0, 0), (4, 0) и (0, 3). Площадь S = 4·3/2 = 6. На границе: НОД(4, 0) + НОД(4, 3) + НОД(0, 3) = 4 + 1 + 3 = 8 точек. По формуле Пика внутри 6 − 8/2 + 1 = 3 точки. Всего 3 + 8 = 11.

Ответ3 внутри; 8 на границе; 11 всего.

По мотивам задачи № 13848 (база Kompege).

две фигуры

Пересечение и объединение фигур

Когда использовать: Нужно найти общую часть, площадь объединения или количество точек в объединении.

Найдите координаты каждой фигуры после всех смещений.
Для прямоугольников пересечение — это пересечение диапазонов по x и y.
Если диапазоны не пересекаются, общая часть пуста.
Для площади объединения примените S = S1 + S2 − S12.
Для количества целых точек в объединении — ту же формулу с количествами.
Для периметра объединения уберите внутренние участки границ.

Пример

Две фигуры имеют площади 22×33 = 726 и 62×73 = 4526, их пересечение — 22×22 = 484. Площадь объединения: 726 + 4526 − 484 = 4768.

Ответ4768

По мотивам задачи № 24263 (база Kompege).

когда фигуры повёрнуты

Перебор целых точек по неравенствам

Когда использовать: Границы заданы наклонными прямыми или окружностями, а нужно только количество точек.

Определите диапазон x и y с запасом по рисунку.
Запишите условия «внутри» для каждой фигуры как неравенства.
Для пересечения объедините условия через and, для объединения — через or.
Для границы используйте равенства или нестрогие неравенства.
Переберите все целые точки двойным циклом.
Сверьте количество с площадью: оно не может сильно отличаться.

Пример

Первый прямоугольник: x от 0 до 27, y от 0 до 21. Второй: x от 10 до 57, y от 9 до 56. Пересечение: x от 10 до 27, y от 9 до 21, то есть 18·13 = 234 точки.

inside1 = lambda x, y: 0 <= x <= 27 and 0 <= y <= 21
inside2 = lambda x, y: 10 <= x <= 57 and 9 <= y <= 56

count = sum(
    inside1(x, y) and inside2(x, y)
    for x in range(-10, 100)
    for y in range(-10, 100)
)
print(count)  # 234

Ответ234

По мотивам задачи № 16317 (база Kompege).

Кузнечик, Вертун, Водолей

Моделируем состояние, а не рисунок

Когда использовать: Исполнитель не рисует фигуру, а закрашивает клетки, перекрашивает их или переливает воду.

Заведите переменные состояния: позицию, направление, объёмы в колбах.
Для закрашенных клеток используйте множество set — оно хранит каждую клетку один раз.
Для команды «Перекрасить» применяйте переключение: если клетка есть, удалите; иначе добавьте.
Для Водолея опишите каждую команду отдельной функцией.
Выполните цикл нужное число раз и выведите размер множества или объём.
Проверьте, не начинается ли новая итерация с того же состояния — тогда дальше значения повторяются.

Пример

Вертун за 10 итераций закрашивает 12 различных клеток. Код хранит позицию, направление и множество закрашенных клеток.

pos = [0, 0]
d = [0, 1]
painted = set()

def forward(n):
    pos[0] += d[0] * n
    pos[1] += d[1] * n

def right():
    d[0], d[1] = d[1], -d[0]

for _ in range(10):
    forward(5); painted.add(tuple(pos))
    right(); forward(3); painted.add(tuple(pos))
    right(); forward(2); painted.add(tuple(pos))
    right()

print(len(painted))  # 12

Ответ12

По мотивам задач № 13836, 13838 и 13853 (база Kompege).

Шпаргалка: формулировка → метод

В условии	Что делать
«точки внутри, граница не считается»	строгие неравенства, граница минус
«включая точки на границе»	нестрогие неравенства, +1 к диапазону
«площадь фигуры»	разбить на прямоугольники и треугольники или формула Пика
«периметр / длина границы»	сумма внешних отрезков, у объединения вычесть внутренние
«пересечение двух фигур»	max левых и нижних границ, min правых и верхних
«объединение фигур»	S1 + S2 − S пересечения
«сколько точек на отрезке»	НОД(\|dx\|, \|dy\|) + 1
«расстояние между началом и концом»	√(dx² + dy²), затем округлить
«Повтори 4 [Вперёд a Направо 90]»	квадрат a×a
«Повтори 6 [Вперёд a Направо 60]»	правильный шестиугольник
«Кузнечик, Вертун, Водолей»	хранить состояние в переменных и множестве
«Назад n» при отрицательном n	движение вперёд

Видеоразборы по теме

Видеоразборы открытого курса КомпЕГЭ; для заданий 8–12 и 27 — дополнительные разборы демоверсии 2027.

По базе Kompege: 934 задачи, 72 решения (33 программных и 39 текстовых) и 186 видеоразборов (92 YouTube, 60 VK, 34 Rutube) по заданию 6. При подготовке методов использованы решения задач № 4694, 5059, 5428, 6259, 7310, 7671, 12460, 12482, 13836, 13838, 13848, 13853, 16317, 24263 и др.; примеры переработаны в учебные.

Разборы из видео

Задачи, которые разбирают в курсе

Условия и код показаны в кадре в конце соответствующего фрагмента. Источники задач — КомпЕГЭ, сайт К. Полякова, ФИПИ и другие.

№ 6713

разбор из видео · 2025

Черепаха: объединение фигур

Исполнитель Черепаха рисует две фигуры. Нужно определить количество точек с целыми координатами внутри объединения фигур, ограниченных алгоритмом, включая точки на линиях.

Ответ411

Смотреть с 39:30

Полный архив

Все фрагменты видеоразборов

По одному пункту на каждую главу: условие или код из кадра, ответ и ссылка. Источники задач — КомпЕГЭ, сайт К. Полякова, ФИПИ и другие; номер берётся из кадра. Текст с экрана распознан автоматически, служебные строки и артефакты удалены; если текст нечитаем, остаются название, таймкод и ссылка.

Показать все фрагменты (15)

2025 · 00:00 Приветствие

В этом фрагменте — теория или пояснение; решение показано в видео.

Смотреть с 00:00

2025 · 01:55 Дисклеймер

При опушенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение "исполнителя и направление его движения. У исполнителя существует 6 команд: Поднять хвост, означающая переход к перемещению без рисования; Опустить хвост, означающая переход в режим рисования;

Смотреть с 01:55

2025 · 05:55 Черепаха в Кумире I (периметр пересечения)

Poros) Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. опушенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя п направление его движения. Поднять хвост, означающая переход к перемещению без рисования: Опустить хвост, означающая переход в режим рисования; Назад n (где n — пелое число), вызывающая передвижение

Смотреть с 05:55

2025 · 16:30 Черепаха в Python I (периметр объединения)

from turtle import *
for i in range(2):
for x in range(-50,50):
for y in range(-50,50):

Смотреть с 16:30

2025 · 34:20 Что писать в конце для PyCharm

from turtle import *
r = 20
for i in range(2):
for x in range(-50,50):
for y in range(-50,50):

Смотреть с 34:20

2025 · 35:45 Черепаха в Кумире II (площадь пересечения)

(№ 6713) (ЕГЭ-2023) Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опушен. опушенном хвосте Черепаха оставляет Ha поле слел в виде линии. В кажлый конкретный момент известно положение исполнителя п направление его движения. Полнять хвост, означающая перехол к перемещению без рисования: вызывающая передвижение Черепахи на п единии в том направлении, куда указывает её голова; Назал п (re п — пелое число), вызывающая передвижение в противоположном голове направлении; Направо m (ге m — целое число), выз

Смотреть с 35:45

2025 · 39:30 Черепаха в Python II (количество точек внутри объединения) 6713

(№ 6713) (ЕГЭ-2023) Исполнитель Черепаха действует на плоскости с лекартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат. её голова направлена вдоль положительного направления оси орлинат, хвост опушен. опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В кажлый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. Поднять хвост, означающая перехол к перемещению без рисования: Опустить хвост, означающая переход в режим рисования; вызывающая передвижение Черепахи на п единии в том направлении, куда указывает её голова;

Смотреть с 39:30

2025 · 50:00 Черепаха в Python III (количество точек внутри пересечения)

(№ 6812) (ЕГЭ-2023) Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления осп ординат, хвост опущен. опушенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виле линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя п направление его движения. Поднять хвост, означающая переход к перемещению без рисования; вызывающая передвижение Черепахи на п единии в том направлении, куда указывает её толова;

Смотреть с 50:00

2025 · 57:20 Черепаха в Python IV (количество точек внутри фигуры)

Евич) Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. опушенном хвосте Черепаха оставляет Ha поле след в виде линии. В кажлый конкретный момент известно положение исполнителя п направление его движения.

Смотреть с 57:20

2025 · 1:07:00 Черепаха в Python V (количество точек внутри фигуры)

Евич) Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена RIOT положительного направления оси ординат, хвост опущен. "опушенном хвосте Черепаха оставляет Ha поле слел в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения.

for i in range(14):
for j in range(3):
for x in range(-50,50):
for y in range(-50,50):

Смотреть с 1:07:00

2025 · 1:11:30 Черепаха в Python VI (количество точек внутри объединения)

Евич) Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в. Чертёжник может выполнять команду Сместиться на (a,b) (re a,b — целые числа), перемещающую Чертёжника из точки с координатами (x, у) в точку с координатами (ж+а, Если числа а, b положительные, то значение соответствующей координаты увеличивается, если отрицательные — уменьшается. Например, если Чертёжник находится в точке с координатами (4, 2), то команда Сместиться на {2,-3) переместит Чертёжника в точку (6,-1). Команда3 Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм: Перед началом алгоритма Чертёжник находился в точке с координатами (0, 0}. Определите, сколько точек с це

Смотреть с 1:11:30

2025 · 1:20:20 Чертежник в Кумир (количество точек внутри фигуры)

Богланов) Исполнитель Чертёжник перемешается на координатной плоскости, оставляя след в виле линии. Чертежник может выполнять команду Сместиться на (a,b) (Te a, 5 — целые числа), перемешающую Чертёжника из точки с координатами (х, у) вточку с координатами (x+a, yb). Если числа а, b положительные, To значение соответствующей крординаты увеличивается, если отрицательные — уменьшается. Например, если 'Чертёжник находится в точке с координатами (4, 2), то команда Сместиться ва (2,-3) переместит Чертежника в точку (6.-1). Запись Команда1 Команда? Командаз означает, что последовательность Команда!

Смотреть с 1:20:20

2025 · 1:26:55 Чертежник в Python I (количество точек внутри фигуры)

Богланов) Исполнитель Чертёжник перемешается на коорлинатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду Сместиться на (a,b) (где a, 5 — целые числа), перемешающую Чертёжника из точки с координатами (х, у) вточку с координатами (X+a, y+b). Если числа а, b положительные, то значение соответствующей крординаты увеличивается, если отришательные — уменьшается. Например, если 'Чертёжник находится в точке с координатами (4, 2), то команда Сместиться ва (2,-3) переместит Чертежника в точку (6.-1). Запись Команда1 Команда? Командаз означает, что последовательность Команда!

Смотреть с 1:26:55

2025 · 1:34:40 Чертежник в Python II (периметр фигур)

Михлин) Исполнитель Чертёжник перемешается на координатной плоскости, оставляя след B виде линии. Чертежник может выполнять команду Сместиться на (a,b) (TE a,b — пелые числа). перемешающую Чертёжника из точки с координатами (X, у) в точку с координатами (х-а, yb). Если числа a, b положительные. то значение соответствующей 2 rte а SR oe ae координаты увеличивается, если отрицательные — уменьшается.

Смотреть с 1:34:40

2025 · 1:39:35 Окончание и напутствие

Исполнитель Черепаха действует на плоскости в декартовой системе координат и передвигается по плоскости, оставляя след своим хвостом в виде линии Черепаха может выполнять команды: Вперёд п (п - число), Налево m (т - число). По команде Вперёд п Черепаха перемещается вперёд на п единиц. По команде Налево m Черепаха поворачивается на месте на т градусов против часовой стрелки, при этом соответственно меняется направление дальнейшего. В начальный момент Черепаха находится в начале координат и направлена вверх (вдоль положительного направления оси ординат) Зались Повтори k Команда Команда? Команда] означает, что заданная последовательность из $ команд повторится k Daa. Черепаха выполнила следующую программу Налево 255 Повтор 3 [Налево 30 Повтори 4 Вперёд 10 Налево 90]] "Определите, общее количество различных точек с целочисленными координатами, которые будут находиться на пересе

Смотреть с 1:39:35

Типичные ошибки

неверное начальное направление
путаница между Направо и Налево
потерянный сдвиг с поднятым хвостом
неверный учёт границы
повторный подсчёт общих точек
ошибка в масштабе или единицах

Практика

ФИПИОткрытый банк заданий Навигатор · 2026Алгоритмы ДемоверсияКИМ 2027 МетодикаРазбор ошибок 2026

Навигатор и методические рекомендации опубликованы в 2026 году: номера заданий в них могут отличаться от нумерации 2027 года. Ориентируйтесь на тему.